Question

函数f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

(-

π

2

≤x≤

π

2

)的值域为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的最值及其几何意义

专题：计算题

分析：先由函数f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

(-

π

2

≤x≤

π

2

)化简为：f(x)=

1+2cos2x

1+4cosx

，再设1+4cosx=t，其中1≤t≤5，根据函数单调性与导数的关系，需要求出导函数并令其等于零得到x的值，然后讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．

解答： 解：由f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

，得f(x)=

1+2cos2x

1+4cosx

，设1+4cosx=t，其中1≤t≤5．
∴y=

1+2×( t-1 4 )2

t

=

t2-2t+9

8t

=

t

8

+

9

8t

-

1

4

≥2

t 8 × 9 8t

-

1

4

=

1

2

，当且仅当t=3时取等号．
t∈[1，3]函数单调递减，t∈[3，5]时函数单调递增，
又t=1时y=1，t=5时，y=

3

5

．
函数的值域为：[

1

2

，1]．
故答案为：[

1

2

，1]．

点评：本题考查了三角函数的二倍体公式三角函数的化简；研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．