题目内容
16．设经过抛物线y2=8x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若AB中点M到抛物线准线的距离为8，则l的斜率为±1．分析 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0）．由题意可得x0+2=8，由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x2，相减可得：（y1+y2）（y1-y2）=8（x1-x2），再利用中点坐标公式与斜率计算公式代入解出即可得出．
解答 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0）．
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x0，x0+2=8，解得x0=6．
由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x2，相减可得：（y1+y2）（y1-y2）=8（x1-x2），
∴2y0k=8，
∴${y}_{0}×\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=4，
解得y0=±4，
k=$\frac{±4}{6-2}$=±1．
故答案为：±1．
点评 本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、中点坐标公式与斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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