Question

6．已知a＞0，b＞0，且a²+b²=18．
（1）若a+b≤m恒成立，求m的最小值；
（2）若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据（a+b）²≤2（a²+b²），即有a+b≤6，利用a+b≤m恒成立，求m的最小值；
（2）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，只需2|x-1|+|x|≥6，分类讨论，求实数x的取值范围．

解答 解：（1）（a+b）²≤2（a²+b²），即有a+b≤6，…（3分）
当且仅当a=b=3时等号成立，又要求a+b≤m恒成立，∴m≥6，
故m的最小值为6…（6分）
（2）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，只需2|x-1|+|x|≥6…（8分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x≤0}\\{-2x+2-x≥6}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{0＜x≤1}\\{-2x+2+x≥6}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-2+x≥6}\end{array}}\right.$，
解得$x≤-\frac{4}{3}或x≥\frac{8}{3}$…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．