Question

6．已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ，其中x∈R，θ为参数，且0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求参数θ的取值范围，使函数f（x）的极小值大于零；
（Ⅱ）若对于（1）中的任意θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求出单调区间，判断极小值，解大于0的不等式，即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间（-∞，0]与[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）内都是增函数，由区间的包含关系得到a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x=0或x=$\frac{cosθ}{2}$．
当cosθ＞0时容易判断f（x）在（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）上是增函数，在[0，$\frac{cosθ}{2}$]上是减函数，
故f（x）在x=$\frac{cosθ}{2}$处取得极小值f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ．
由f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ＞0，可得0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
同理，可知当cosθ＜0时，f（x）在x=0处取极小值f（0）=$\frac{3}{16}$cosθ＞0，即cosθ＞0，与cosθ＜0矛盾，
所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零．
综上，要使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围为$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）由（2）知函数f（x）在区间（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）内都是增函数，由题设：
函数在（2a-1，a）内是增函数，则a需满足不等式a≤0或2a-1≥$\frac{cosθ}{2}$
0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而可以解得a≤0或$\frac{4+\sqrt{3}}{8}≤a＜1$．

点评 本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查三角不等式的运算求解能力，属于中档题．