Question

1．已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a．
（1）求g（x）在P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$））处的切线方程l；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的个数．

Answer 1

分析 （I）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x），这个函数有几个零点就说明有几个根．然后利用导数研究函数单调性，并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数零点的个数即可求根的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵g′（x）=$\frac{-2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，∴g′（$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$且g（$\sqrt{2}$）=1+a
故g（x）在点P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）））处的切线方程为2$\sqrt{2}$x+y-5-a=0 
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$-ah′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$．
x∈[0，1）∪（1，+∞）时h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0，
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）时h（x）单调递减，[0，1），（1，+∞）时h（x）单调递增．h（x）为偶函数，
x∈（-1，1）时h（x）极小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情况为：
1-a＞0时，a＜1时，原方程有2个根；
1-a=0时，a=1时，原方程有3个根；
1-a＜0时，a＞1时，原方程有4个根．

点评 此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．此题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，培养学生分类讨论的数学思想．