Question

已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）-

1

2

，（0＜φ＜

π

2

）在区间[0，π]上的图象如图所示，其最高点为A，最低点为B
（1）求φ的值；
（2）设α为锐角f（

α

2

+

π

6

）=

3

5

，求sinα的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据图象结合函数的最值建立条件关系即可求φ的值；
（2）利用α为锐角f（

α

2

+

π

6

）=

3

5

，结合两角和差的正弦公式即可求sinα的值．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcos（x-φ）-

1

2

=2sinx[cosxcosφ+sinxsinφ）-

1

2

=sin2xcosφ+2sin²xsinφ-

1

2

=sin2xcosφ+（1-cos2x）sinφ-

1

2

=sin2xcosφ-cos2xsinφ+sinφ-

1

2

=sin（2x-φ）+sinφ-

1

2

∵函数的最大值是1，
∴当sin（2x-φ）=1时，函数取得最大值为1+sinφ-

1

2

=1，
即sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
（2）∵φ=

π

6

．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）．
则f（

α

2

+

π

6

）=sin[2×（

α

2

+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）=

3

5

，
∵α是锐角，∴0＜α＜

π

2

，
则

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，则-

1

2

＜cos（α+

π

6

）＜

3

2

，
则cos（α+

π

6

）=±

1-( 3 5 )2

  =±

4

5

，
则cos（α+

π

6

）=

4

5

，
则sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）cos

π

6

-cos（α+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及两角和差的正弦公式的应用，考查学生的运算能力．