Question

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数．
（Ⅰ）求f（1.6）、f（2）；
（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x）（0≤x＜4），在平面直角坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）有且仅有一个实根，求α的取值范围．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=[x]，可得f（1.6）和f（2）的值．
（Ⅱ）由 f（x）的解析式求得g（x）=x-f（x）的解析式，从而画出函数g（x）的图象．
（Ⅲ）由题意可得，函数y=g（x）的图象和函数y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的图象有且仅有一个交点，当函数y的图象经过点（3，1）时，求得α的值，当函数y的图象经过点（4，1）时，求得α的值，从而得到要求的α的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由函数f（x）=[x]，可得f（1.6）=[1.6]=1，f（2）=[2]=2．
（Ⅱ）∵f（x）=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) 2，x∈[2，3) 3，x∈[3，4)

，（0≤x＜4），∴g（x）=x-f（x）=

x，x∈[0，1) x-1，x∈[1，2) x-2，x∈[2，3) x-3，x∈[3，4)

．
在平面直角坐标系中作出函数g（x）的图象，如图所示：
（Ⅲ）若方程g（x）-log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）有且仅有一个实根，
则函数y=g（x）的图象和函数y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的图象有且仅有一个交点，
当函数y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的图象经过点（3，1）时，α=

5

2

；
当函数y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的图象经过点（4，1）时，α=

7

2

，
故要求的α的范围为（

5

2

，

7

2

）．

点评：本题主要求函数的图象的作法，方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．