Question

已知A，B，C是△ABC的三内角，

3

sinA-cosA=1
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,余弦定理,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）先利用三角变换公式将其化简得sin（A-

π

6

）=

1

2

，从而由角A的范围求得角A的值；
（2）先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式将已知三角函数式化为二次齐次式，再两边同除以cos²B得关于tanB的方程，解得tanB的值，再利用两角和的正切公式计算所求值即可．

解答： 解：（1）∵A，B，C是△ABC的三内角，

3

sinA-cosA=1
∴可得：2sin（A-

π

6

）=1，即有：sin（A-

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π，可得-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴可解得：A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

．
（2）由

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3⇒

1+sin2B

cos2B

=-3⇒1+sin2B=-3cos2B⇒sin2B+3cos2B=-1．
可得：2sinBcosB+3（cos²B-sin²B）=-（sin²B+cos²B）
两边同除以cos²B得：2tanB+3（1-tan²B）=-（tan²B+1）
化简得tan²B-tanB-2=0
∴tanB=-1或tanB=2
若tanB=-1，则B=

3π

4

，此时A+B＞π，不合题意；
若tanB=2，则tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

．

点评：本题主要考查了向量数量积的运算性质，三角变换公式在三角化简即求值中的应用，二倍角公式及二次齐次式的解题技巧，属基础题．