Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-2x²+ax+b的图象在点P（3，f（3）），处的切线方程为y=3x-5．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+

m

x-2

．
①若g（x）是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值；
②是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用曲线上的点的切线方程与改点的导数的关系问题即可求得；
（Ⅱ）利用函数的单调性转化为恒成立问题，解含m的不等式求m的最值；求得函数图象的对称中心，利用对称性说明．

解答： 解：（Ⅰ）x=3时，f（3）=3a+b-9
∵f′（x）=x²-4x+a，
∴f′（3）=9-12+a，
∴a=6
又∵点P（3，f（3））在直线y=3x-5上，
∴f（3）=4，即3a+b-9=4，
∴b=-5
∴a=6，b=-5，
∴f（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5．

（Ⅱ）①g（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5+

m

x-2

．
又g（x）是[3，+∞）上的增函数，
∴g′（x）=x²-4x+6-

m

(x-2)2

=（x-2）²-

m

(x-2)2

+2≥0，在[3，+∞）上恒成立，
令（x-2）²=t，则t≥1，
设y=t-

m

t

+2，
∴t-

m

t

+2≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≤t²+2t=（t+1）²-1恒成立，
∴m≤3，
故实数m的最大值是3．
②∵g（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5+

m

x-2

，
∴g（4-x）=

1

3

（4-x）³-2（4-x）²+6（4-x）-5+

m

4-x-2

=-

1

3

x³+2x²-6x-

25

3

-

m

x-2

，
∴g（x）+g（4-x）=

10

3

，
∴Q（2，

5

3

）
表明：若点A（x，y）为g（x）图象上任意一点，则点（4-x，

10

3

-y）也在图象上，
而线段AB的中点恒为Q（2，

5

3

）；
由此可知g（x）图象关于点Q（2，

5

3

）对称．
这也表明存在点Q（2，

5

3

），使得过Q的直线若能与g（x）图象相交围成封闭图形，
则这两个封闭图形面积相等．

点评：考查利用导数求过曲线上点的切线方程的方法，以及利用函数的单调性求字母的最值问题和图象的对称问题，属综合性很强的题目，属难题．