Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3，其中a∈R
（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值．
（2）若f（x）在R上恒为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化为分段函数，利用函数的增减性求得最值；
（2）通过讨论a的取值，化为分段函数后由函数的单调性列出不等式求得．

解答： 解；（1）∵f（x）=x|x-a|+2x-3，
∴当a=4时，f(x)=x|x-4|+2x-3=

-x2+6x-3，2≤x≤4 x2-2x-3，4＜x≤5

；
作图如下：

由图知，当x=5时，f（x）_max=f（5）=5²-2×5-3=12；
当x=2或4时，f（x）_min=f（2）=f（4）=-2²+6×2-3=5，
（2）f(x)=

-x2+(a+2)x-3，x≤a x2+(2-a)x-3，x＞a

，
∵f（x）在R上恒为增函数，
∴

a+2 2 ≥a a-2 2 ≤a

，解得-2≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查学生对含绝对值的函数的处理方法，以及分段函数的单调性的判断与运用能力，结合图象理解更好．