Question

6．设正数a、b、c、d满足a+b=cd=λ（λ为常数），若ab≤c+d且取等号时，a、b、c、d的取值唯一，则常数λ=4．

Answer 1

分析 根据均值不等式分别有a+b≥2$\sqrt{ab}$，c+d≥2$\sqrt{cd}$；则a，b，c，d满足a+b=cd=4，进而可得2$\sqrt{ab}$≤a+b=cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²化简即得，当且仅当a=b=c=d=2时取等号，问题得以解决．

解答 解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：a+b≥2$\sqrt{ab}$，则（a+b）²≥4ab
如果c，d是正数，则根据均值不等式有：c+d≥2$\sqrt{cd}$； 则cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²，
∵a，b，c，d满足a+b=cd=λ，
∴2$\sqrt{ab}$≤a+b=cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²，当且仅当a=b=c=d时取等号，
化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一，
∴a=b=c=d=2时成立，
∴λ=4，
故答案为：4．

点评 本题考查均值不等式，能正用、逆用，而且还要会变用．使用时还要特别注意等号成立的条件．