Question

16．已知a＞0且 a≠1，函数f（x）=$\frac{3{a}^{x}+1}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{1+x}{1-x}$（-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（　　）

• A． A-B=4
• B． A+B=4
• C． A-B=6
• D． A+B=6

Answer 1

分析 讨论0＜a＜1和a＞1，判断函数f（x）的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可．

解答 解：f（x）=$\frac{3{a}^{x}+1}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{3（{a}^{x}+1）-2}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{（x-1）+2}{1-x}$
=3-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$+3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$），
若a＞1，则-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$为增函数，3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为增函数，
即f（x）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为增函数，
此时函数的最大值A=f（$\frac{1}{2}$），最小值B=f（-$\frac{1}{2}$），
若0＜a＜1，则-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$为减函数，3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为减函数，
即f（x）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上为减函数，
此时函数的最大值A=f（-$\frac{1}{2}$），最小值B=f（$\frac{1}{2}$），
则A+B=f（-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3{a}^{-\frac{1}{2}}+1}{{a}^{-\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3+{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1}{3}$+3log_a3
=$\frac{4+4{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+3log_a1
=4+0=4，
故选：B

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据指数函数和对数函数的性质判断函数的单调性，以及利用对应的运算法则是解决本题的关键．