Question

已知焦点在x轴上的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1实轴长为4，离心率等于

7

2

．
（1）写出双曲线方程；
（2）若该双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得a，b，c的方程组，解之得a，b，c的值，方程可求；
（2）可采用交轨法，即先把A₁P，A₂Q的方程用已知点A₁和A₂、以及P、Q的坐标分别表示出来，两者联立，消去x₁，y₁后得到的关于x，y的方程即为交点的轨迹方程，注意轨迹方程中x，y的范围．

解答： 解：（1）由已知得

2a=4 c a = 7 2 c2=a2+b2

，解得a=2，c=

7

，b=

3

，
所以方程为

x2

4

-

y2

3

=1；
（2）由A₁、A₂为双曲线的左、右顶点知，A₁（-2，0），A₂（2，0），又P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）
所以A₁P方程：y=

y1-0

x1+2

(x+2)，A₂Q方程：y=

-y1-0

x1-2

(x-2)，
两式相乘得y2=

-y12

x12-4

(x2-4)，
而点P（x₁，y₁）在双曲线上，

x12

4

-

y12

3

=1，
即-y12=3(1-

x12

4

)
故y2=-

3

4

(x2-4)即

x2

4

+

y2

3

=1，
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A₁，A₂均不重合，故点A₁和A₂均不在轨迹E上，
过点(0，

3

)及A₂（2，0）的直线l与双曲线只有唯一交点A₂，故轨迹E不过点(0，

3

)，同理轨迹E也不过点(0，-

3

)．
综上分析，轨迹E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠0且x≠±2）．

点评：本题重点考查双曲线的标准方程的求法，以及利用交轨法求轨迹方程的问题，利用交轨法求轨迹方程的关键在于先求出产生交点的两曲线（或直线）的方程，然后两者联立，消去参数即可，要注意方程中x，y的取值范围．