题目内容
在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB=6，AD=2，AA′=1，P是AB上的点且PB=2AP，M是DC上的点，且DM=2MC，N是B′C′的中点，求直线PD′与MN所成的角θ的大小．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：通过建立空间直角坐标，利用向量的夹角公式即可得出异面直线的夹角．
解答：
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
∵AB=6，AD=2，AA′=1，P是AB上的点且PB=2AP，M是DC上的点，且DM=2MC，N是B′C′的中点，
∴P（2，2，0），D′（0，0，1），M（0，4，0），N（1，6，1）．
∴
=（-2，-2，1），
=（1，2，1）．
∴cos＜
，
＞=
=
=
．
∴直线PD′与MN所成的角θ的大小为arccos
．
∵AB=6，AD=2，AA′=1，P是AB上的点且PB=2AP，M是DC上的点，且DM=2MC，N是B′C′的中点，
∴P（2，2，0），D′（0，0，1），M（0，4，0），N（1，6，1）．
∴
| PD′ |
| MN |
∴cos＜
| PD′ |
| MN |
| ||||
|
|
| -2-4+1 | ||
3×
|
-5
| ||
| 18 |
∴直线PD′与MN所成的角θ的大小为arccos
5
| ||
| 18 |
点评：本题考查了利用向量的夹角公式即可得出异面直线的夹角，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，三个同样大小的长方形并排一行．