Question

已知方程（k²-4）x²-4（k+2）x+4=0．
（1）当k取何值时，方程无实数；
（2）当k取何值时，x=

1

4

是方程的一个根，另一个根存在；
（3）当k取何值时，有一正一负根；
（4）当k取何值时，有两正根．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论，求出方程无解时，k的值．
（2）根据二次项的系数不等零、判别式大于零、x=

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4

是方程的一个根，求出k的值．
（3）根据二次项的系数不等零、判别式大于零、两根之积小于零，求得k的范围．
（4）根据二次项的系数不等零、判别式大于零、两根之积大于零、两根之和大于零，求得k的范围．

解答： 解：对于方程方程（k²-4）x²-4（k+2）x+4=0，
（1）当k=-2时，方程为0x+4=0，无解．
当k≠±2时，由△=64（k+2）＜0，求得k＜-2，
综上，当k≤-2时，方程无解．
（2）由题意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，且（k²-4）（

1

4

）²-4（k+2）

1

4

+4=0，
求得k=14，故当k=14时，x=

1

4

是方程的一个根，另一个根存在．
（3）由题意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，两根之积

4

k2-4

＜0，
求得-2＜k＜2，故当-2＜k＜2时，方程有一正一负根．
（4）由题意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，两根之积

4

k2-4

＞0，两根之和

4(k+2)

k2-4

＞0，
求得k＞2，即当k＞2 时，方程有两个整正根．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．