Question

已知函数f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1），在区间[-2，-1]上值域为[-7，

7

16

]，求a的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=a^x，a＞1，由x∈[-2，-1]，可得t∈[a^-2，a^-1]，f（x）=g（t）=-（t+1）²+2，显然g（t）在[a^-2，a^-1]上是减函数，再根据值域为[-7，

7

16

]，求得a的值．

解答： 解：令t=a^x，a＞1，由x∈[-2，-1]，可得t∈[a^-2，a^-1]，f（x）=g（t）=1-2t-t²=-（t+1）²+2，
显然，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-1，在[a^-2，a^-1]上是减函数，
故当t=a^-2时，g（t）取得最大值为-（a^-2+1）²+2=

7

16

，求得a=2．
 当t=a^-1时，g（t）取得最小值为-（a^-1+1）²+2=-7，求得a=

1

2

（舍去）．
综上可得，a=2．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．