Question

7．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为$\frac{a}{2}$，则$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面积计算公式得$\frac{1}{2}$•a•$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，求出a²=2bcsinA；利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，得b²+c²=a²+2bccosA，代入$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}}{bc}$，化为三角函数求最值即可．

解答 解：因为 S_△ABC=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
即a²=2bcsinA；
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，
所以b²+c²=a²+2bccosA=2 bcsinA+2bccosA；
代入得$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}}{bc}$=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
当A=$\frac{π}{4}$时，$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{4}$取得最大值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．