Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中a=2，A=60°，则b-2c的取值范围为（-4，2）．

Answer 1

分析 由正弦定理用sinB、sinC表示出b、c，由内角和定理求出C与B的关系式，代入b-2c利用两角差的正弦公式化简，根据B的范围和余弦函数的性质得出b-2c的取值范围．

解答 解：∵a=2，A=60°，∴由正弦定理得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
由A+B+C=π得B+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-B，则0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴b-2c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-2sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB-2sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-2×sin$\frac{2π}{3}$cosB+2×cos$\frac{2π}{3}$sinB）=-4cosB，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{1}{2}＜cosB＜1$，则-4＜-4cosB＜2，
∴b-2c的取值范围是（-4，2），
故答案为：（-4，2）．

点评 本题考查了正弦定理的应用，两角和差的正弦函数公式，以及余弦函数的图象与性质，属于中档题．