Question

20．数列{a_n}满足a₂=$\frac{3}{4}$，a_n-a_na_n+1-1=0，T_n表示{a_n}前n项之积，则T₂₀₁₇=4．

Answer 1

分析 把递推式整理，根据a₂=$\frac{3}{4}$，计算出前面4项的值，不难发现这是一个周期性数列，即可T_n表示{a_n}前n项之积．

解答 解：由a_n-a_na_n+1-1=0，可得：a_n（1-a_n+1）=1．
∵a₂=$\frac{3}{4}$，
∴a₁=4，∴a₃=$-\frac{1}{3}$．
依次计算可是：a₄=4，a₅=$\frac{3}{4}$…，
不难发现：数列{a_n}是以3为周期的数列．
则a₂₀₁₇=a_{（3×672+1）}=a₁=4．
前3项的乘积：a₂×a₁×a₃=4×$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）=-1$，
可知：T₂₀₁₇=$\underset{\underbrace{{a}_{1}×{a}_{2}×{a}_{3}}}{3}×\underset{\underbrace{{a}_{5}×{a}_{4}×{a}_{6}}}{3}$…×a₂₀₁₇=（-1）⁶⁷²×a₂₀₁₇=a₂₀₁₇=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数列的递推计算，通过递推公式关系找出各项之间的关系式解题的关键．属于中档题．