Question

9．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．即可证明．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 （1）证明：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．