Question

8．三棱锥D-ABC中，AB=CD=$\sqrt{6}$，其余四条棱长均为2，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 14π
• B． 7π
• C． 21π
• D． 28π

Answer 1

分析 分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，再求球的表面积．

解答 解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，
由条件，AB=CD=$\sqrt{6}$，BC=AC=AD=BD=2，
可知△ABC与△ADB都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，
∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，
可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD），
$DE=\sqrt{4-\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\sqrt{\frac{10}{4}-\frac{6}{4}}=1$，
半径$DG=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球的表面积为4π×DG²=7π．
故选：B．

点评 本题考查了球的内接几何体以及球的表面积问题，也考查空间想象能力与计算能力．属于中档题．