Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，依新定义可证数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，继而可证

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，数列{lg（2a_n+1）}为等比数列；
（2）由（1）知数列{lg（2a_n+1）}为等比数列，从而可得lg（2a_n+1）=2^n-1•lg5=lg52n-1，易求数列{a_n}的通项；再由lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

(1-2n)•lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5=lg52n-1，即可求得T_n的表达式．

解答： （1）证明：由条件得a_n+1=2a_n²+2a_n．
∴2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴数列{2a_n+1}是“平方递推数列”．
由a₁=2及2a_n+1+1=（2a_n+1）²，
知2a_n+1＞1恒成立，且lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
∴数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）解：∵a₁=2，∴lg（2a₁+1）=lg5，
∴lg（2a_n+1）=2^n-1•lg5=lg52n-1，
∴2a_n+1=52n-1．
∴a_n=

1

2

（52n-1-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）
=

(1-2n)•lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5=lg52n-1，
∴T_n=52n-1．

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定及等比数列通项公式与求和公式的综合应用，考查推理运算能力，属于难题．