题目内容
已知函数f（x）=
下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：
①当k＞0时，有3个零点；
②当k＜0时，有2个零点；
③当k＞0时，有4个零点；
④当k＜0时，有1个零点．
则正确的判断是（ ）
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①当k＞0时，有3个零点；
②当k＜0时，有2个零点；
③当k＞0时，有4个零点；
④当k＜0时，有1个零点．
则正确的判断是（ ）
| A、①④ | B、②③ | C、①② | D、③④ |
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：由y=0得f[f（x）]=-1，利用换元法将函数分解为f（x）=t和f（t）=-1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．
解答：
解：由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，即f[f（x）]=-1，
设f（x）=t，则方程f[f（x）]=-1等价为f（t）=-1，
①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，
由f（x）=t2，＜0，知此时x有两解，
由f（x）=t1∈（0，1）知此时x有两解，
此时共有4个解，即函数y=f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f（x）=t1∈（0，1）知此时x只有1个解，
即函数y=f[f（x）]+1有1个零点．
综上：只有③④正确，
故选：D．
设f（x）=t，则方程f[f（x）]=-1等价为f（t）=-1，
①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，
由f（x）=t2，＜0，知此时x有两解，
由f（x）=t1∈（0，1）知此时x有两解，
此时共有4个解，即函数y=f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f（x）=t1∈（0，1）知此时x只有1个解，
即函数y=f[f（x）]+1有1个零点．
综上：只有③④正确，
故选：D．
点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，利用数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
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