Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=aⁿ+b（a≠0且a≠1），证明数列{a_n]为等比数列的充要条件是b=-1．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：

分析：由等比数列通项公式和前n项和公式的关系，分充分性和必要性两方面来证明可得．

解答： 证明：（1）充分性：
当b=-1时，a₁=S₁=a-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1（a-1）．
上式当n=1时也成立，∴

an+1

an

=

an(a-1)

an-1(a-1)

=a
即数列{a_n}为等比数列．
（2）必要性：当n=1时，a₁=S₁=a+b．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1（a-1）．
∵a≠0，b≠1．
∴

an+1

an

=

an(a-1)

an-1(a-1)

=a
∵{a_n}为等比数列，
∴

a2

a1

=

a(a-1)

a+b

=a，
即a-1=a+b．∴b=-1．
综上所述，数列{a_n]为等比数列的充要条件是b=-1．

点评：本题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明，属中档题．