Question

平面直角坐标系xoy中，已知点（n，a_n）（n∈N^*）在函数y=a^x（a≥2，a∈N）的图象上，点（n，b_n）（n∈N^*）在直线y=（a+1）x+b（b∈R）上．
（1）若点（1，a₁）与点（1，b₁）重合，且a₂＜b₂，求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：当a=2时，数列{a_n}中任意三项都不能构成等差数列；
（3）当b=1时，记A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，设C=A∩B，将集合C的元素按从小到大的顺序排列组成数列{c_n}，写出数列{c_n}的通项公式c_n．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a₁=b₁，可得b值，由a₂＜b₂可得a的范围，结合题意可得a值，可得所求通项公式；（2）（反证法）当a=2时，a_n=2ⁿ，假设存在数列{a_n}中的三项2^p，2^q，2^r成等差数列，由整数的奇偶性可得结论；（3）当b=1时，设m₀∈C，则m₀∈A且m₀∈B，设m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），可得s=

at-1

a+1

，a^t-1能被a+1整除，分①当t=1，②当t=2n（n∈N^*），③当t=2n+1（n∈N^*）讨论可得．

解答： 解：（1）∵点（1，a₁）与点（1，b₁）重合，
∴a₁=b₁，∴a=a+1+b，解得b=-1，
由a₂＜b₂可得a²-2a-1＜0，解得1-

2

＜a＜1+

2

，
又∵a≥2且a∈N，∴a=2，
可得数列{b_n}是3为公差的等差数列，
∴{b_n}的通项公式为b_n=3n-1，
（2）（反证法）当a=2时，a_n=2ⁿ，
假设存在数列{a_n}中的三项2^p，2^q，2^r成等差数列，
其中p，q，r为正整数且p＜q＜r，则2×2^q=2^p+2^r，
化简可得2×2^q-p=1+2^r-p，
∵等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式不成立，假设不成立．
∴数列{a_n}中的任意三项都不能构成等差数列．
（3）当b=1时，设m₀∈C，则m₀∈A且m₀∈B，
设m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），
则a^t=（a+1）s+1，变形可得s=

at-1

a+1

，
∵a，t，s∈N^*，且a≥2，
∴a^t-1能被a+1整除．
①当t=1时，s=

a-1

a+1

∉N^*；
②当t=2n（n∈N^*）时，a²ⁿ-1=[（a+1）-1]²ⁿ-1
=（a+1）²ⁿ+…-

C

1 2n

（a+1）+1-1，
∴a^t-1能被a+1整除．
③当t=2n+1（n∈N^*）时，a²ⁿ⁺¹-1=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-1
=（a+1）²ⁿ⁺¹+…+

C

1 2n+1

（a+1）-2，
∴a^t-1不能被a+1整除．
综上当b=1时，c_n=a²ⁿ

点评：本题考查等差数列的性质，涉及分类讨论和反证法以及二项式定理的应用，属中档题．