Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=AA′=AC=2，∠BAC=

2

3

π，点D，E分别是BC，A′B′的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC′A′；
（Ⅱ）求二面角B′-AD-C′的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取AC的中点F，连结DF，A′F，由已知条件推导出DFA′E是平行四边形，由此能证明DE∥平面ACC′A′．
（Ⅱ）在平面ABC中，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，以直线AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B′-AD-C′的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AC的中点F，连结DF，A′F，
则DF∥AB，A′E∥AB，∴DF∥A′E，
∵DF=

1

2

AB，A′E=

1

2

AB，∴DF=A′E，
∴DFA′E是平行四边形，∴ED∥A′F，
∵DE不包含于平面ACC′A′，A′F?平面ACC′A′，
∴DE∥平面ACC′A′．
（Ⅱ）在平面ABC中，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，以直线AC为y轴，AA′为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得A（0，0，0），B（

3

，-1，0），
C（0，2，0），B′(

3

，-1，2)，C′（0，2，2），D（

3

2

，

1

2

，0），
∴

AD

=(

3

2

，

1

2

，0)，

AB

=(

3

，-1，2)，

AC

=（0，2，2），
设平面B′AD的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AD = 3 2 x+ 1 2 y=0 m • AB = 3 x-y+2z=0

，
取x=1，得

m

=（1，-

3

，-

3

），
设平面C′AD的法向量

n

=（x1，y1，z1 ），
则

n • AD = 3 2 x1+ 1 2 y1=0 2y1+2z1=0

，
取x₁=1，得

n

=（1，-

3

，

3

），
设二面角B′-AD-C′的平面角为θ，
cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

1-3+3

7 • 7

=

1

7

，
∴二面角B′-AD-C′的余弦值为

1

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．