Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数t使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的“t高调函数”．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的“4高调函数”，那么实数a的取值范围是（　　）

• A、[-

  2

  2

  ，

  2

  2

  ]
• B、[-1，1]
• C、[-1，

  2

  2

  ]
• D、[-

  2

  2

  ，1]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a²；解可得答案．

解答： 解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，
则当x≥a²时，f（x）=x-2a²，
0≤x≤a²时，f（x）=-x，
由奇函数对称性，有则当x≤-a²时，f（x）=x+2a²，
-a²≤x≤0时，f（x）=-x，
图象如图：易得其图象与x轴交点为M（-2a²，0），N（2a²，0）
因此f（x）在[-a²，a²]是减函数，其余区间是增函数．
f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），
故当-2a²≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a²；
有-2a²≤x≤0且x+4≥2a²可得4≥4a²；
解可得：-1≤a≤1；
故选：B．

点评：本题主要考查学生的阅读能力，很应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．