Question

已知椭圆方程x²+3y²=12，过点D（2，0）的直线l交椭圆于A、B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为：my=x-2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得弦弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，再利用S_△OAB=

1

2

d|AB|，导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：设直线l的方程为：my=x-2．
联立

my=x-2 x2+3y2=12

，化为（3+m²）y²+4my-8=0．
∴y₁+y₂=-

4m

3+m2

，y₁y₂=

-8

3+m2

．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 16m2 (3+m2)2 - 4×(-8) 3+m2 ]

=4

(1+m2)(3m2+6) (3+m2)2

．
点O到直线l的距离d=

2

1+m2

．
∴S_△OAB=

1

2

d|AB|
=

1

2

×

2

1+m2

×4

(1+m2)(3m2+6) (3+m2)2

=

2 3

m2+2+ 1 m2+2 +2

．
令m²+2=t≥2，
f（t）=t+

1

t

，
f′(t)=1-

1

t2

＞0，
∴函数f（t）在[2，+∞）上单调递增，
∴当t=2时，即m=0，f（t）取得最小值

5

2

，
∴S_△OAB取得最大值

4 6

3

．
∴△OAB面积的最大值是

4 6

3

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．