Question

已知动圆M过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心M的轨迹为H．
（1）求曲线H的方程；
（2）一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x=-1上的动点，是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=-1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线，从而得到所求轨迹方程．
（2）假设存在这样的点C，使得△ABC是正三角形，由方程组化简得出二次方程，再得AB的中点坐标M（2t²+1，2t），先确定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，确定C（-1，-2t³），利用

3

2

|AB|=|CM|，求出t的值，从而可得点C的坐标，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=-1相切，
所以圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线，
∴圆心M的轨迹方程为y²=4x．F（1，0）
故曲线H的方程为：y²=4x．
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，m），
直线AB的方程．

y2=4x x=ty+1

，化简得：y²-4ty-4=0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
x₁+x₂=4t²+2，得AB的中点坐标M（2t²+1，2t），
①当直线的斜率不存在时，t=0，A（1，2），B（1，-2），可能C（-1，0），
AB=4，AC=BC=2

2

，不可能为正三角形，
②当直线的斜率存在时，M（2t²+1，2t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，m），
|AB|=x₁+x₂+2=4t²+2+2=4t²+4
∵△ABC是正三角形，
∴K_CM•K_AB=-1，
即-

m-2t

2t2+2

•

1

t

=-1，得m=2t³+4t
∴C（-1，2t³+4t），
∵|CM|=

(2t+2t3)2+(2t2+2)2

=（2t²+2）

t2+1

，
∴

3

2

（4t²+4）=（2t²+2）

t2+1

，
解得：t=±

2

，m=2（

2

）³+4

2

=8

2

所以存在这样的点C（-1，±8

2

），使得△ABC是正三角形

点评：本题考查了抛物线的几何性质，判断是否存在满足条件的点使得三角形为正三角形．具体涉及到抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，是难题．