Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成，两相接点M、N均在直线x=6上，圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为10，圆弧C₂过点A（38，0）．
（1）求圆弧C₂的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=

39

PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线l：x-my-21=0与曲线C交于E、F两点，当EF=38时，求坐标原点O到直线l的距离．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆弧C₁所在圆的方程为x²+y²=100，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为y-4=4（x-22），进而可求圆弧C₂所在圆的圆心为（21，0），圆弧C₂所在圆的半径为=38-21=17，故可求圆弧C₂的方程；
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=

39

PO，得x²+y²+2x-38=0，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在；
（3）因为EF＞r₂，EF＞r₁，所以E，F两点分别在两个圆弧上，根据直线l恒过圆弧C₂的圆心（21，0），可得EF=17+

102-d2

+

212-d2

=38，从而得解．

解答： 解：（1）圆弧C₁所在圆的方程为x²+y²=100，令x=6，解得：y=±8，即M（6，8），N（6，-8），
则直线AM的中垂线方程为 y-4=4（x-22），令y=0，得圆弧C₂所在圆的圆心为 （21，0），
又圆弧C₂所在圆的半径为=38-21=17，
∴圆弧C₂的方程为（x-21）²+y²=289（x≥6）；
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=

39

PO，得x²+y²+2x-38=0，
由

x2+y2+2x-38=0 x2+y2=100(-10≤x≤6)

，解得：x=-31（舍去）；
由

x2+y2+2x-38=0 (x-21)2+y2=289(38≥x≥6)

，解得：x=-

251

44

（舍去），
综上知，这样的点P不存在；
（3）∵EF＞r₂，EF＞r₁，
∴E，F两点分别在两个圆弧上，
又直线l恒过圆弧C₂的圆心（21，0），
∴EF=17+

102-d2

+

212-d2

=38，
解得：d²=

41600

441

，
解得：d=

40 26

21

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线的交点，以及两点间距离公式的运用，弄清题意是解本题的关键．