Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x

+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2

3

，O是坐标原点，探究直线OA与直线OB能否垂直，并说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）直接求导得f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0即可确定极值点，解不等式t＜0且t+3＞2即可求解t的取值范围；
（Ⅱ）化简

f(x)

x

+lnx+1≥0得b≤x+

lnx

x

+

1

x

，然后求函数g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

在x∈[

1

2

，+∞)的最小值，即可确定b的取值范围；
（Ⅲ）假设直线OA与直线OB垂直，运用数量积的坐标运算建立s，t的方程，根据极值的性质可知s，t是方程f'（x）=0的两个根，从而确定a+b的值，得出与已知的矛盾，推翻假设．得出结论．

解答： （Ⅰ）当a=0，b=3时，
f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得，x=0或x=2．
根据导数的符号可知，
函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．
∵函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，
∴t＜0且t+3＞2，
即-1＜t＜0．
∴t的取值范围是（-1，0）．    
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x

+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即x²-bx+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．
令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
则g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

． 
记m（x）=x²-lnx，
则m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x=

2

2

，
并且也是最小值点，
∴m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，
从而g'（x）＞0，
∴函数g（x）在区间[

1

2

，+∞)上单调递增．
函数g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．
故只要b≤

5

2

-2ln2即可．
∴b的取值范围是(-∞，

5

2

-2ln2]．
（Ⅲ）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，
即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，
故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1．
即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的两个根，
故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9．
(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
即a+b≥2

3

，与a+b＜2

3

矛盾，
∴直线OA与直线OB不可能垂直．

点评：本题主要考查向量的数量积的性质和坐标运算，导数与极值最值的关系，恒成立问题的解决技巧等知识的综合应用，属于难题．