Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-

b

2a

对称．据此可推测对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+g=0的解集不可能是（　　）

• A、{1，3}
• B、{2，4}
• C、{1，2，3，4}
• D、{1，2，4，8}

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：直接利用函数的对称性看能否找到对称轴，当是四个数时看能否使得其中两个的和等于另外两个的和，答案易求得．

解答： 解：f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-

b

2a

令设方程m[f（x）]²+nf（x）+g=0的解为f₁（x），f₂（x） 
则必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-

b

2a

对称
也就是说x₁+x₂=-

b

a

同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-

b

2a

对称
那就得到x₃+x₄=-

b

a

，
在A中，可以找到对称轴直线x=2，
在B中，可以找到对称轴直线X=3，
在C中，可以找到对称轴直线X=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，2，4，8}
找不到这样的组合使得对称轴一致，
也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和
故答案D不可能
故选D．

点评：本题考查了函数的对称性问题，解决函数问题可结合图象，利用数形结合来解答．