Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，短轴长为4，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点F₁的直线l交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过该椭圆的右焦点F₂，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于离心率为

2

2

，短轴长为4，可得

c

a

=

2

2

，2b=4，
a²=b²+c²．联立解得即可．
（2）当l与x轴重合时，不符合题意．设直线l的方程为x+2=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．由于以AB为直径的圆恰好经过该椭圆的右焦点F₂，可得F₂A⊥F₂B，

F2A

•

F2B

=0，解出即可．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵离心率为

2

2

，短轴长为4，∴

c

a

=

2

2

，2b=4，a²=b²+c²．
解得a²=8，b²=4，c=2．∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）当l与x轴重合时，不符合题意．
设直线l的方程为x+2=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x+2=my x2+2y2=8

，化为（2+m²）y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=

4m

2+m2

，y₁y₂=

-4

2+m2

∵以AB为直径的圆恰好经过该椭圆的右焦点F₂，
∴F₂A⊥F₂B，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=0，
∴

-4(m2+1)

2+m2

+

-8m2

2+m2

+4=0，
化为m2=

1

2

．
解得m=±

2

2

．
∴直线l的方程为：x+2=±

2

2

y，即

2

x±y+2

2

=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．