Question

设f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

．
（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）换元法解表达式，定义判断奇偶性；
（2）借助基本初等函数确定函数的单调性；
（3）由单调性解不等式．

解答： 解：（1）令t=logax(t∈R)，得x=at，
代入f（log_ax）中，得f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，
∴f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）当a＞1时，

a

a2-1

＞0，ax在x∈R上递增；-a-x在x∈R上也是递增，故此时f(x)为增函数；
当0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，ax在x∈R上递减；-a-x在x∈R上也是递减，故此时f(x)为增函数．
综上所述，f（x）为R上的增函数．
（3）由（1）知f（x）为奇函数，
由（2）知f（x）在x∈（-1，1）为增函数，
故有-1＜1-m＜m2-1＜1，解得1＜m＜

2

．

点评：本题考查了函数的基本特征，同时考查了利用函数单调性求不等式的解集．