Question

已知直线x-y=0与抛物线x²=2py交于A、B两点，若点P（2，2）为AB中点，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于

x

2 1

=2py1，

x

2 2

=2py2，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．再利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

x

2 1

=2py1，

x

2 2

=2py2，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．
又

y1-y2

x1-x2

=1，x₁+x₂=2×2，
∴4=2p，解得p=2．
∴抛物线的方程为：x²=4y．

点评：本题考查了“点差法”、斜率计算公式与中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．