Question

已知函数f（x）=e^x，（x∈R）
（1）求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：曲线y=f（x）与曲线y=

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x²+x+1有唯一公共点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）构造函数h（x）=f（x）-（ 

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x²+x+1）=e^x-

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x²-x-1，利用导数判断函数的单调性即可证明：曲线y=f（x）与曲线y=

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x²+x+1有唯一公共点．

解答： 解：（1）函数的导数f′（x）=e^x，则f′（1）=e，
则f（x）点（1，e）处的切线方程为：y-e=e（x-1），
即y=ex．
（2）令h（x）=f（x）-（ 

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x²+x+1）=e^x-

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x²-x-1，
则h′（x）=e^x-x-1，
[h′（x）]′=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，[h′（0）]′=0，
因此，当x＜0时，[h′（x）]′＜0，y=h′（x）单调递减；
当x＞0时，[h′（x）]′＞0，y=h′（x）单调递增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，
所以y=h（x）在R上单调递增，
又h（0）=0，即函数h（x）有唯一零点，
故曲线y=f（x）与曲线y=

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x²+x+1有唯一公共点（0，1）．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线以及构造函数判断函数的单调性是解决本题的关键．