Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{1+lo{g}_{a}（x+1），x≥0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+4ax．若同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 利用函数f（x）是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，得到a的大致范围，即可得出结论．

解答 解：y=log_a（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{{0}^{2}+（4a-3）•0+3a≥lo{g}_{a}（0+1）+1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$；
函数g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，
即g′（x）＞0在（2，+∞）上有解
因为g′（x）=-x²+x+4a，
所以只需g′（2）＞0即可，
所以由g'（2）=-4+2+4a=4a-2＞0，解得a＞$\frac{1}{2}$，
∴当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．
∵同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的单调性是关键．