Question

13．已知tanα=-2，则$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{2}{5}$cos²α=$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 方法1：利用“弦化切”及其平方关系即可解决．
方法2：利用“切化弦”的转化思想，找到sinα与cosα的关系，利用sin²α+cos²α=1的平方关系，即可得到答案．

解答 解法1：
解：∵sin²α+cos²α=1，tanα=-2，
∴$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{2}{5}$cos²α=$\frac{\frac{1}{4}si{n}^{2}α+\frac{2}{5}co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{4}ta{n}^{2}α+\frac{2}{5}}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{1}{4}×（-2）^{2}+\frac{2}{5}}{1+（-2）^{2}}$=$\frac{7}{25}$
解法2：
解：∵tanα=-2，∴sinα=-2cosα⇒sin²α=4cos²α
又∵sin²α+cos²α=1
∴4cos²α+cos²α=1
解得：cos²α=$\frac{1}{5}$，sin²α=$\frac{4}{5}$
∴$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{2}{5}$cos²α=$\frac{1}{4}×\frac{4}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$

点评 本题考查了“弦化切”或“切化弦”的转化思想，及其同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．