Question

7．已知函数f（x）=x³+sinx，x∈[-1，1]，对任意x₁，x₂∈[-1，1]（x₁≠x₂），都有f（x₁）+f（x₂）＞0，则下列不等式正确的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁+x₂＞0
• D． x₁+x₂＜0

Answer 1

分析 先证明函数f（x）是R上单调递增函数，是奇函数，由f（x₁）+f（x₂）＞0，即可推得x₁+x₂＞0．

解答 解：∵f（x）=x³+sinx，
∴f′（x）=3x²+cosx=3x²+cosx，
∵x∈[-1，1]，∴3x²≥0，cosx＞0，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是[-1，1]上单调递增函数；
又因为f（-x）=（-x）³+sin（-x）=-x³-sinx=-（x³+sinx）=-f（x）
所以有：f（x₁）+f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）⇒x₁＞-x₂⇒x₁+x₂＞0
故选：C．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判定，属于中档题．