Question

3．已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D
作AM的垂线交BN于点E．求△BDE与△BDN的面积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的顶点可得a=2，由离心率可得c，进而得到b，以及椭圆方程；
（Ⅱ）设D（x₀，0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀＞0，求出直线AM，DE的方程和直线BN的方程，联立直线BN与直线DE，可得E的纵坐标，运用三角形的面积公式，可得$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BDN}}$=$\frac{{y}_{E}}{{y}_{N}}$，计算即可得到所求之比．

解答 解：（Ⅰ）∵焦点在x轴上，两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），
∴a=2，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$c=\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=1，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设D（x₀，0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀＞0，
可得y₀²=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
直线AM的方程是$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{x+2}）$，
∵DE⊥AM，
∴${k_{DE}}=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}$，直线DE的方程是$y=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）$，
直线BN的方程是$y=\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，
直线BN与直线DE联立可得，$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）\\ y=\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}（{x-2}）\end{array}\right.$，
整理为：$\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（{x-{x_0}}）=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，
即$（{{x_0}^2-4}）（{x-{x_0}}）={y_0}^2（{x-2}）$，
即（x₀²-4）（x-x₀）=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4}$（x-2），
解得x_E=$\frac{4{x}_{0}+2}{5}$，
代入直线DE方程，求得y_E=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$•$\frac{2-{x}_{0}}{5}$=-$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{5{y}_{0}}$=-$\frac{4}{5}$y₀，
则$\frac{{y}_{N}}{{y}_{E}}$=$\frac{5}{4}$ 又$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BDN}}$=$\frac{\frac{1}{2}|BD|•|{y}_{E}|}{\frac{1}{2}|BD|•|{y}_{N}|}$
=$\frac{{y}_{E}}{{y}_{N}}$=$\frac{4}{5}$，
则△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的顶点和离心率公式，考查三角形的面积的比，注意运用直线方程，联立解方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．