Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），点P是椭圆C上一动点，若动点P到点的距离的最大值为b²．
（1）求椭圆C的方程，并写出其参数方程；
（2）求动点P到直线l：x+2y-9=0的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点坐标，可得c，再由椭圆上的点与焦点的距离最大值为a+c，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程和参数方程；
（2）设点P坐标为$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）（θ∈R）$，运用点到直线的距离公式，以及两角和的正弦公式，化简可得距离d，再由正弦函数的值域，可得最小值．

解答 解：（1）由题意右焦点为F（1，0），点P是椭圆C上一动点，
若动点P到点的距离的最大值为b²．
有：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c={b^2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
（2）设点P坐标为$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）（θ∈R）$，
则P到直线l：x+2y-9=0的距离
$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-9|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-9|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{9-4sin（θ+\frac{π}{6}）}}{{\sqrt{5}}}$，
∴当$sin（θ+\frac{π}{6}）=1$，即θ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z时，${d_{min}}=\frac{9-4}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，
∴动点P到直线l：x+2y-9=0的距离的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用焦点坐标和椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查椭圆参数方程的运用，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．