Question

3．已知抛物线C：y²=4x的交点为F，直线y=x-1与C相交于A，B两点，与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得AB的中点D，将直线方程代入渐近线方程，求得M和N点坐标，则$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3，即可求得a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

解答 解：由题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+1=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=6，
x_D=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，则y_D=x_D-1=3，
∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．
直线y=x-1与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x联立，可得M（$\frac{a}{a-b}$，$\frac{b}{a-b}$），
与双曲线的渐近线y=-$\frac{b}{a}$x联立，可得N（$\frac{a}{a+b}$，-$\frac{b}{a+b}$），
∴线段MN的中点坐标为（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
∵线段AB与MN的中点相同，
∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$
故选：C．

点评 本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．