Question

8．下列命题中错误的个数为：（　　）
①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$的图象关于（0，0）对称；
②y=x³+x+1的图象关于（0，1）对称；
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的图象关于直线x=0对称；
④y=sinx+cosx的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义判断②，根据三角函数的图象判断④

解答 解：①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$，f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{x}-1+1}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$）=-f（x），
∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确
②y=x³+x+1的图象关于（0，1）对称；
由题意设对称中心的坐标为（a，b），
则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，
2b=（a+x）³+3（a+x）+1+（a-x）³+3（a-x）+1对任意x均成立，
∴a=0，b=1
即对称中心（0，1），故正确
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，
④y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象关于直线x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$对称，即x=$\frac{π}{4}$对称，故正确．
故选：A

点评 本题考查了函数对称中心和对称轴的问题，关键是掌握其概念，属于中档题．