Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为

x=acosϕ y=bsinϕ

（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M(1，

3

2

)对应的参数ϕ=

π

3

，射线θ=

π

3

与曲线C₂交于点D(1，

π

3

)．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C₁上，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由于曲线C₁上的点M(1，

3

2

)对应的参数ϕ=

π

3

，可得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，解得a，b．即可得出曲线C₁的直角坐标方程．由于曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=

π

3

与曲线C₂交于点D(1，

π

3

)．可得圆的直径2R=

1

cos π 3

=2，即可得出曲线C₂的方程．
（II）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲线C₁的直角坐标方程：

x2

4

+y2=1．可得ρ2=

4

1+3sin2θ

．即可得出

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

．

解答： 解：（I）∵曲线C₁上的点M(1，

3

2

)对应的参数ϕ=

π

3

，∴

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，解得

a=2 b=1

，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：

x2

4

+y2=1．
∵曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=

π

3

与曲线C₂交于点D(1，

π

3

)．
∴圆的直径2R=

1

cos π 3

=2，∴曲线C₂的方程为（x-1）²+y²=1．
（II）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲线C₁的直角坐标方程：

x2

4

+y2=1．
可得ρ2=

4

1+3sin2θ

．
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=

1+3sin2θ

4

+

1+3sin2(θ+ π 2 )

4

=

2+3sin2θ+3cos2θ

4

=

2+3

4

=

5

4

．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程、圆的极坐标方程与直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．