Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a），若?x∈[1，2]，使不等式f（x）＜-1成立，求参数a．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出原函数的导函数，当a≤0时，在x∈[1，2]上f′（x）＞0恒成立，f（x）为增函数，求出函数在[1，2]上的最大值，由最大值小于-1求得a的范围，和a≤0取交集；当a＞0时，求出导函数的大于0的零点，分析出单调性，分原函数在[1，2]上为增函数、减函数、既减又增几类情况求函数的最大值，由最大值小于-1求得a的范围，最后去并集得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax，
当a≤0时，在x∈[1，2]上f′（x）＞0恒成立，f（x）为增函数，
∴f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，与a≤0矛盾；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x₁=0，x2=

2a

3

．
当x∈（0，

2a

3

）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（

2a

3

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
若

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

，f（x）在[1，2]上为增函数，f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，与0＜a≤

3

2

矛盾；
若

2a

3

≥2，即a≥3，f（x）在[1，2]上为减函数，f（x）_max=f（1）=1-a，
由1-a＜-1，得a＞2，∴a≥3；
若1＜

2a

3

＜2，即

3

2

＜a＜3时，
则

3

2

＜a≤

7

3

时，f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，
∴

9

4

＜a≤

7

3

；

7

3

＜a＜3时，f（x）_max=f（1）=1-a，
由1-a＜-1，得a＞2，
∴

7

3

＜a＜3．
综上，对?x∈[1，2]，使不等式f（x）＜-1恒成立的参数a的范围为（

9

4

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，属难度较大的综合题．