Question

已知函数f(x)=alnx+

2

x

+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值．
（2）通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）当x=1时，f（x）=lnx+

2

x

+x，（x＞0），f′（x）=

1

x

-

2

x2

+1，
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞），
∴当x=1时，f（x）有极小值．
（2）由函数f（x）=alnx+

2

x

+x，得f′（x）=

a

x

-

2

x2

+1，
若函数f（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式

a

x

-

2

x2

+1≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥

2

x

-x在[1，+∞）上恒成立．
又g（x）=

2

x

-x在[1，+∞）上为减函数，g（x）_max=g（1）=1．所以a≥1．

点评：本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．