Question

6．已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置互换，得到一个等比数列，则$\frac{b}{a+c}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 因为a，b，c成等差数列，（d＜0），则三个数设为b-d，b，b+d，交换位置讨论等比中项，解方程可得d，由此可得结论．

解答 解：设等差数列的公差为d，（d＜0），则三个数设为b-d，b，b+d，
交换这三个数的位置后：
①若b是等比中项，位置不变，则b²=（b-d）（b+d），解得d=0，不符合；
②若b+d位置不动，则b-d是等比中项，则（b-d）²=b（b+d）
解得d=3b，此时三个数为-2b，b，4b，则$\frac{b}{a+c}$=$\frac{b}{4b-2b}$的值为$\frac{1}{2}$．
③b-d位置不动，同理得到d=-3b，
此时三个数为4b，b，-2b 则$\frac{b}{a+c}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，注意等差数列的三个数的设法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．