Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{\frac{a}{2}，\frac{c}{2}}），\overrightarrow n=（{cosC，cosA}）$，且$\overrightarrow n•\overrightarrow m=bcosB$．
（1）求B的值；
（2）若$cos\frac{A-C}{2}=\sqrt{3}sinA$，且$|{\overrightarrow m}|=\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=bcosB$进行数量积的坐标运算，并由正弦定理即可求出$cosB=\frac{1}{2}$，从而得到$B=\frac{π}{3}$；
（2）可得到C=$\frac{2π}{3}-A$，从而由$cos\frac{A-C}{2}=\sqrt{3}sinA$求出tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而得出C=$\frac{π}{2}$，从而有c=2a①，并且根据条件有a²+c²=20②，这样联立①②即可求出a，c，进而求出b的值，从而可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=bcosB$；
∴$\frac{a}{2}cosC+\frac{c}{2}cosA=bcosB$；
∴sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB；
∴sin（A+C）=2sinBcosB；
即sinB=2sinBcosB；
∵0＜B＜π；
∴sinB≠0；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$；
由$cos\frac{A-C}{2}=\sqrt{3}sinA$得，$cos（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}sinA$；
∴$\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA=\sqrt{3}sinA$；
∴$cosA=\sqrt{3}sinA$；
∴$tanA=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$；
∴$A=\frac{π}{6}$；
∴$C=\frac{π}{2}$；
在Rt△ABC中，$a=\frac{1}{2}c$，即c=2a；
又$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{5}$；
即$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4}=5$；
∴5a²=20；
∴a=2，c=4；
∴$b=2\sqrt{3}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．

点评 考查数量积的坐标运算，正弦定理，两角和差的正余弦公式，以及已知三角函数值求角．