Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄|

1

an

|，求数列{

1

bn•bn+1

}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，可求得a₁=-

1

4

，由a_n=5S_n+1，可得a_n+1=5S_n+1+1，两式相减，整理可得

an+1

an

=-

1

4

，知数列{a_n}是首项为a₁=-

1

4

，公比为q=-

1

4

的等比数列，于是可求
数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=(-

1

4

)n；依题意可求得b_n=n，利用裂项法可得

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，从而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴a₁=-

1

4

，…（2分）
又a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
a_n+1-a_n=5a_n+1，
即

an+1

an

=-

1

4

，…（4分）
∴数列{a_n}是首项为a₁=-

1

4

，公比为q=-

1

4

的等比数列，
∴a_n=(-

1

4

)n； …（6分）
（Ⅱ）b_n=log₄|

1

an

|=log₄|（-4）ⁿ|=n，…（8分）
所以

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

 …（10分）
所以T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

n

n+1

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推关系的应用，求得数列{a_n}的通项公式是关键，考查等比关系的确定与裂项法求和，属于中档题．