Question

一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（2）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知几何体的三视图，及三视图中边角的关系，便可判断画出该几何体的直观图，并知道该直观图是底面是直角三角形的直三棱柱．根据已知的边的大小即可求出该直观图的体积V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；
（2）要证明A₁C⊥平面AB₁C₁，根据线面垂直的判定定理，只要证明A₁C垂直于平面AB₁C₁内的两相交直线即可．由已知条件知四边形ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．根据（1）及已知的B₁C₁⊥A₁C₁容易证明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，所以便可得到A₁C⊥B₁C₁，从而便得到A₁C⊥平面AB₁C₁．

解答： 解：（1）根据该几何体的三视图画出该几何体的直观图如下图所示，根据三视图中边的关系知：CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC∩BC=C，∴CC₁⊥平面ABC；
又AC⊥BC，所以该直观图是底面是直角三角形的直三棱柱；
根据三视图中已知的边长为：BC=1，AC=

3

，CC1=

3

；
∴该直三棱柱的体积V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；
（2）由（1）知CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥B₁C₁，即B₁C₁⊥CC₁；
又B₁C₁⊥A₁C₁，CC₁∩A₁C₁=C₁；
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C?平面ACC₁A₁；
∴B₁C₁⊥A₁C，即A₁C⊥B₁C₁；
又四边形ACC₁A₁是正方形，∴A₁C⊥AC₁，AC₁∩B₁C₁=C₁；
∴A₁C⊥平面AB₁C₁．

点评：考查空间几何体的三视图与直观图的概念，以及三棱柱的体积公式，线面垂直的判定定理及线面垂直的性质．